Trabalhando com Números Arrendados

(uma discussão teórico-prática sobre esta problemática)

Uma das maiores dificuldades, quando lidamos com números, é como devemos - ou podemos - apresentar esses números para quem vai utilizá-los. Quando a humanidade só conhecia os números inteiros (lembra da Matemática que te ensinaram na Escola: os números inteiros são representados pela seqüência: 1, 2, 3, 4 .....) não havia muito problema. Somar 3 com 6 deveria dar sempre 9 (será mesmo?). E com certeza subtrair 2 de 7, não deveria dar nenhum outro resultado além de 5.

Mas aí a humanidade foi apresentada aos números reais (tal como 2,567 ou o resultado da divisão de um 35 por um 3, o que gera uma dízima periódica na verdade), e mais tarde - bem mais tarde é verdade - nos brindaram com os computadores, e as planilhas de cálculo. Aí o problema se tornou um pouco mais complexo:

Não se trata de ter certeza apenas sobre a precisão dos números (qual é a melhor precisão?) mas, principalmente, como devemos apresentar esses números aos leitores de nossas planilhas. Aqui é que a porca torce o rabo. A solução é jamais esquecermos nossas lições de Matemática (será que cada um de nós passou com louvor, ou apenas passamos raspando?).

Para ajudar a esclarecer alguns pontos mais importantes, que se não cuidados devidamente podem causar estragos em nosso currículo, vamos dividir a questão (são dois exemplos, cada um apresentado à nós por um dos amigos citados no final deste texto) em duas partes: a TEÓRICA (baseada na Matemática) e a PRÁTICA (o que o Excel pode fazer para nos ajudar), mas antes os dois problemas que nos enviaram:

Observações:

• Nos exemplos acima vemos que há diferenças na última casa decimal, os "erros" são obviamente causados pelo sistema de arredondamento que as planilhas de cálculo utilizam (o Excel trabalha com 15 casas decimais internamente).
• Nos dois casos as diferenças deram positivas, mas poderiam dar negativas, bastando alterar algum número, como qualquer um pode verificar se fizer alterações aleatoriamente em um dos valores.
• Finalmente os resultados que o Excel mostrou (no caso A na coluna D, e no caso B na coluna C) estão CORRETOS, não importando o que pareçam, aos menos avisados, à primeira vista.

A Teoria por Trás dos Números

Muito embora os casos sejam teoricamente idênticos, o caso A é de mais fácil compreensão, enquanto o caso B carrega uma falha grave de interpretação do objeto medido (lembrem-se a Matemática serve para medir "números"). Vamos explicar melhor mais à frente.

O caso A só envolve o problema do arredondamento de um número real, que no caso em questão é feito na 2ª casa decimal. Se o nosso leitor verificar por si só, se na coluna D for definida uma precisão de 3 casas, os números mostrados ficariam apresentados como: 14,820; 8,468; 5,800; 12,426 - com o total ficando em 41,513 (cujo arredondamento segundo as leis da Matemática deve ser o número: 41,51).

Como pode ser visto o uso de uma calculadora, para conferir os cálculos de uma planilha de cálculo, é o responsável pelo erro aparente. Na verdade ao arredondar os números, na 2º casa, verificamos que houveram arredondamentos para cima nas linhas 3 e 5 (são os números em vermelho no parágrafo anterior), o que acarretou o aparente problema quando se utilizou apenas os resultados aparentes com a calculadora.

O caso B além de envolver o problema do arredondamento de um número real, que no caso em questão também é feito na 2ª casa decimal, ainda carrega a falha fundamental de que o objeto medido - A DISTRIBUIÇÃO DE UM BOLO EM VÁRIAS PARTES - deve ser sempre igual a 1 (em estatística utilizamos a forma percentual dos 100%). Um exemplo bem prático: pegue um disquete de 360 KB (aqueles de densidade simples de 5.1/4 de polegada, lembram?) e com uma tesoura faça várias fatias. Nem se preocupe em medir cada pedaço, faça um bem maior que os outros, não importa: o resultado de todas as fatias juntas ainda dá EXATAMENTE IGUAL a 1 disquete. Jamais a soma das partes, SOB NENHUMA CIRCUNSTÂNCIA, poderá ser representada por um número diferente de 100%. Qualquer um que apresentar este problema, do ângulo da soma de alguns números arredondados para a 2ª cassa decimal, como não sendo igual a 100,00000000% estará absolutamente equivocado.

Nesse exemplo, se fizermos o arredondamento dos números da coluna C para a 3ª casa decimal, notaremos que o Excel apresentará os seguintes números: 15,486; 21,795; 36,842; 12,160; 13,716 - com com o total ficando em 99,999 (com o uso daquela calculadora, lembra?) cujo arredondamento, segundo as leis da Matemática, deve ser o número: 100,00.

Como pode ser visto o uso de uma calculadora, para conferir os cálculos de uma planilha de cálculo, é o responsável pelo erro aparente. Na verdade ao arredondar os números, na 2º casa, verificamos que houveram arredondamentos para cima nas linhas 2, 3 e 6 (são os números em vermelho no parágrafo anterior), e apenas um arredondamento para baixo na linha 4 (é o número em verde), o que acarretou o aparente problema quando se utilizou apenas os resultados aparentes com a calculadora.

A Prática dos Números

Bom agora já sabemos que o Excel está certo, porém não era para isso que iniciamos a discussão, que nossos amigos enfrentam no seu dia-a-dia. O que precisamos saber é:

1. Como fazer o Excel apresentar os dados de modo acurado, ou mais parecidos com os resultados desejados?;
2. Como convencer as pessoas a não usar calculadoras (no máximo 12 casas decimais) para conferir trabalhos de uma planilha de cálculo (no mínimo 14 casas decimais)?;

Respondendo as duas questões acima:

1. O Excel possui uma função que pode ser utilizada quando se deseja que os resultados fiquem realmente numa determinada casa decimal:
   A função =ARRED(dado_a_arredondar ; número_de_casas_decimais) serve como uma luva aos casos:
   No caso A o uso da fórmula =ARRED(C2 * B2 % ; 2), ao invés da originalmente utilizada, resolveria o problema da calculadora, já que os resultados seriam colocados como são externamente apresentados os números. Aqui haveria um erro de arredondamento ao final, já que o resultado correto (ou pelo menos mais correto) seria o número 41,51 e não o número que agora será apresentado: 41,52 (mas pelo menos os homens das calculadoras ficarão contentes).
   No caso B o uso da fórmula =ARRED( B2 / B7 % ; 2 ) no lugar da fórmula original não dá resultado nenhum, pelo menos com aqueles números que eu apresentei, já que o erro aqui é de conceito, e pega mais em baixo. Tenho 2 sugestões que amenizam bastante o problema: a primeira é usar uma fórmula levemente diferente, que seria:
   =ARRED( B2 / B7 % ; 3) ao mesmo tempo que formata-se a apresentação numérica para apenas 2 casas decimais, e a segunda seria utilizar a fórmula original mas formatando a saída com 3 casas decimais;
2. Bata um papinho com os mais reticentes; coloque a Matemática para eles; e finalmente sugira, com bastante delicadeza, que joguem suas calculadoras no lixo - ou façam eles próprios, doravante, os cálculos manualmente toda a vez, deixando os amigos internautas com mais tempo para gastar suas energias e conhecimento em coisas mais úteis.